Budapesten született építész édesapa és könyvelő édesanya gyermekeként. Első éveit a Hajdú-Bihar megyei Földesen töltötte nagyszüleinél, és már kisgyermekként megragadta a parasztzenészek játéka, a lakodalmakban nagyon szerette hallgatni az élő népzenét. Egyik legelső zenei élménye is az volt, amikor unokanővére lakodalmas menete Kabára tartva hatalmas mulatságba keveredett. Meghatározó maradt számára az is, hogy keresztapját neve napján rezesbandák és cigányzenekarok köszöntötték fel, őt szó szerint elvarázsolták a dallamok. Általános iskoláit már a fővárosban végezte, zeneszerető szüleivel eljártak a Zeneakadémiára, ahol először hallott jazzt egy angol dixielandegyüttes előadásában, a Nyugati pályaudvar restijében elköltött vasárnapi családi ebédek alatt egy népi zenekar játékát élvezte.

Egyik első hangszere egy szájharmonika volt, amelyet a citera követett. Az általános iskolában először tangóharmonikázni tanult, majd zongorázni, autodidakta módon pedig elsajátította a bendzsózás technikáját, és a többi közt Bob Dylan dalait játszotta.

Zenei érdeklődése ellenére szülei a csepeli gépipari szakközépiskolába íratták be. Itt töltött évei alatt nemcsak a beat- és a rockzenével ismerkedett meg, hanem egy osztálytársa kazettája révén a jazzel is. Tizenhat évesen döntött végleg a zenei pálya mellett, amikor a rádióban Johnny Griffin és John Coltrane szaxofonjátékát és Dizzy Gillespie kvartettjét hallotta. Az érettségit követően két évig a Beloiannisz híradástechnikai gyárban dolgozott műszerészként, mellette a konzervatóriumban tanult. 1979-ben végzett a Liszt Ferenc Zeneművészeti Főiskola jazz-tanszakán, és hamarosan együtt játszott a jazz hazai kiválóságaival.

A nyolcvanas évek első felében, a táncházmozgalom fellendülésével párhuzamosan életében ismét előtérbe került a népzene. Ebben az időszakban ismerkedett meg az amerikai jazz és a magyar népzene közelítésével elsőként kísérletező Szabados Györggyel, akinek munkássága óriási hatással volt rá. 1983-ban lett Szabados együttesének tagja, a MAKUZ szabad zenei műhellyel az alapító 2011-ben bekövetkezett haláláig dolgozott együtt.

Dresch Mihály művészetében ötvözi a sokak számára egymástól távol állónak, nehezen összeegyeztethetőnek tűnő zenéket: az amerikai fekete jazz harmóniavilágát és improvizációs technikáját az autentikus magyar népdalkinccsel. Az etnojazz műfajának egyik legkiválóbb képviselőjeként azt vallja, hogy el sem tudná képzelni a jazzt népzenei gyűjtés nélkül, és a jazzben éppen az vonzza, hogy ez a nyitott műfaj mindenféle stílust képes befogadni, amivel új hangzások jöhetnek létre. Zenéjét többen hamisítatlan "magyar jauznek" nevezik, bár ő nem tartja magát műfajteremtőnek. Több zenekritikus szerint Dresch a bartóki népzenei szemlélet egyik hiteles örököse a 21. században, aki egyedi zenei világot alakított ki, miközben a hagyományos jazztől sosem távolodott el teljesen. A muzsika számára a szabadságot jelenti, azt a végtelen teret, ahol az ember önmaga után kutatva bolyong.

Az egyik legkiválóbb és legsokoldalúbb magyar szaxofonos több formációban is közreműködik. Olyan kiemelkedő népzenészekkel is együtt muzsikált, mint Csík János, Halmos Béla és Balogh Kálmán, velük tradicionális népzenét játszott. Első kvartettjét 1984-ben alapította, ennek felállása idővel változott ugyan, szellemisége viszont állandó maradt. Jelenlegi együttesének tagjai: Lukács Miklós (cimbalom), Horváth Balázs (bőgő) és Baló István (dob), aki az eredeti felállásban is szerepelt. Ő maga szaxofonon, furulyán és az általa kifejlesztett fuhunon játszik (ez utóbbi egy fából készült furulya szaxofonbillentyűkkel), és énekel is. Az idei nyári fesztiválokon két kvartettjével is fellép.

A magyar jazz külföldön is ismert és elismert alakja több tucat lemezen játszott. A Dresch Quartet első lemezét Sóhajkeserű címmel 1985-ben, a legutóbbit Kapu és kert címmel két éve adta ki. A zenekar több albuma is elnyerte az év magyar jazzlemeze díjat. Első szólóanyaga 1997-ben - Dresch Dudás Mihály: Hűs-ég címmel - jelent meg. Dresch Mihály pályafutása során olyan neves előadókkal játszott már együtt, mint John Tchicai, Archie Shepp, Roscoe Mitchell, Chico Freeman, Lee Konitz, David Murray és Dewey Redman.

Művészete elismeréseként megkapta a Magyar Művészetért Díjat (1993), a Magyar Jazz Díjat (2005), a Liszt Ferenc-díjat (2007), a Budapestért díjat (2009), a Szabó Gábor-díjat (2010), 2011-ben az érdemes művész, 2014-ben a kiváló művész címet.