Szülőhelye, Németújvár nem sokkal korábban került osztrák fennhatóság alá, édesapja pénzügyőrként dolgozva tartotta el a családot. A családfő, papi hivatást szánva a fiának – aki ekkor még eredeti vezetéknevét, a Zsigovitsot használta –, a kőszegi internátusba íratta az ekkor tízéves Lászlót. Ő egy kötelező színházlátogatás alkalmával döntötte el, hogy színész lesz, ám szüleit csak hosszas rábeszélés után sikerült meggyőznie, hogy támogassák tanulmányait.
1939-ben nyert felvételt a Színiakadémiára, ahol 1942-ben végzett többek között Szemere Vera, Zenthe Ferenc és Bakó Márta osztálytársaként. Már az akadémiai évek alatt statisztált a Nemzeti Színházban, de
felfelé ívelő pályáját megtörte, hogy a diploma átvétele után azonnal behívták a frontra, ahol 1945-ben hadifogságba esett.
Amikor három évvel később hazatért, a Nemzetiben már nem tartottak igényt a munkájára – bár korábban Németh Antal ígéretet tett a szerződtetésére –, ezért paródiákkal, burleszkekkel járta az országot. Mint visszaemlékezésében elmondta: évekkel később tudta meg, hogy közvetlenül érkezése előtt telefonáltak be a színházba, hogy „kirúgni, fasiszta!”.
1948-ban aztán otthonra talált először a Pesti Színházban, majd az Úttörő és az Ifjúsági Színházban. Azonban nem állt meg itt, a Fővárosi Operettszínház után a Petőfi Színházba, a Vígszínházba, a József Attila Színházba, majd 1974-ben a Vígszínházba vezetett az útja.
Sokoldalúságát mutatja, hogy zenés darabokban, drámákban és vígjátékokban egyaránt helytállt. A hírnevet az Operettszínház Szabadság, szerelem című operettje hozta meg számára, melynek fülbemászó dala, a Doktor úr, doktor úr, a maga szíve sose fáj olyannyira népszerű lett, hogy később is Csákányi állandó repertoárját képezte, a közönség pedig szinte elfelejtette, hogy Huszka Jenő eredetileg Feleki Kamill számára írta ezt a számot. (Érdekes adalék, hogy az operett szövegírója, Fischer Sándor a bőséges jogdíjból vett hangversenyzongorát fiainak, Fischer Ádámnak és Ivánnak.) Hiányos zenei ismeretei ellenére A vén budai hársfák békésen suttognak című Eisemann Mihály-szerzemény is Csákányi által lett népszerű.
Színpadi munkái mellett számos rádiókabaréban és szinkronszerepben feltűnt,
az ő hangján szólaltak meg magyarul a kor népszerű színészei: Fernandel, Peter Ustinov és Charles Laughton is. Legismertebb szinkronszerepe Foxi Maxi és Frédi voltak, de a Vuk Karakja is az ő hangján mondja, hogy „nem vagy buta, csak még keveset tudsz”.
Amikor átállt a kamera másik oldalára, a siker szinte azonnal borítékolható volt. Ő alakította az Indul a bakterház egyik főszerepét, Buga Jóskát, de játszott az 1978-as Rab ember fiaiban is. utolsó filmszerepe Koltai Róbert Sose halunk meg című vígjátékában volt, ahol a tánctanár Deutsch bácsit alakította.
Munkásságáért 1959-ben Jászai Mari-díjat kapott, 1979-ben érdemes művész lett, 1984-ben pedig kiváló művész címet adományoztak neki. Munkabírását mi sem bizonyítja jobban, mint az az anekdota, amit Straub Dezső mondott róla: „Csákányi Laci bácsi minden előadás végén, amikor legördült a függöny, azt mondta:
Köszönöm a férfias munkát, aki nem azt végzett, az szégyellje magát!”
Fejléckép: Csákányi László (forrás: Hunyady József / Fortepan)