Kelemen László Kecskeméten született. Életének korai szakaszáról keveset tudunk: vélhetőleg a piaristáknál tanult, majd jogot végzett. Tanulmányai során külföldön is megfordult, s Schiller, Beaumarchais műveit látva döbbent rá a színjátszás jelentőségére, a nemzeti öntudatra gyakorolt hatására. Tanulmányainak befejezése után a gödöllői Grassalkovich-birtok ügyésze lett, s tisztes jómódra tett szert.
Kelemen a „kalapos király”, II. József halála utáni hazafias közhangulatban
Pestre sietett, hogy elősegítse a magyar nyelvű színjátszás megteremtését, állandó színház megteremtésén buzgólkodjék.
Társulatot szervezett inkább lelkes, mint rátermett fiatalokból, akik közül csak Moór Annát lehetett színésznek tekinteni. A lelkes és agilis Kelemen megszerezte – legalábbis szavakban - Pest vármegye és az 1790-ben összeült országgyűlés támogatását is, s elérte, hogy Kazinczy országbíró utasítására a budai és a pesti német színház bérlője, Unwerth gróf fellépési lehetőséget biztosítson számukra azokon a napokon, amikor a német társulat nem játszott.
A Magyar Nemzeti Játékszíni Társaság 1790. október 25-én mutatkozott be a zsúfolásig telt budai Várszínházban. Az első magyar szavak Simai Kristóf Igazházi című darabjának bemutatója alkalmából hangzottak el a színpadról, hagyományosan e napra teszik a magyar színjátszás születésnapját. Az előadást két nappal később a pesti Rondellában megismételték, s a közönség ekkor is kitörő lelkesedéssel ünnepelte az aktorokat.
Több előadásra azonban nem kerülhetett sor, mert az üzleti konkurenciát gyanító német színháztulajdonos azonnali hatállyal visszavonta a játszási engedélyt.
Kelemennek sikerült szabadalomlevelet kieszközölnie, amely biztosította, hogy az ország bármely városában magyar nyelvű előadást tarthasson. Utolsó pénzén az akkori hajóhíd budai végénél, a mai Várkert Kioszknál épített egy raktárba színpadot. A társulat itt 1792. május 5-től folyamatosan játszott, 1796 tavaszáig 155 előadást tartottak, köztük 1793. május 6-án az első magyar nyelvű operát, Chudy József Pikkó herceg és Jutka Perzsi című darabjának bemutatóját.
Kelemen László még kántori állásáról is lemondott, hogy minden idejét a magyar színészet ügyének szentelhesse.
Hatóságoknál kilincselt, beadványokat szerkesztett, pénzt gyűjtött, s ő ültette át magyarra az előadott darabok nagy részét,
így tucatnyi német színmű mellett lefordította Moliére Képzelt betegét - Tettetett beteg avagy az igaz orvos címmel – és Shakespeare Othellóját. Fordított és eredeti darabjai között olyanokat találunk, mint A gazda asszony, avagy megfizet az öreg harang, a Gyermekek fenyítése vagy a testámentom, A módi szeretők vagy milyen férjet kell választani. Természetesen játszott is, a feljegyzések szerint igen jó ösztönös színész volt, különösen a komikus és katonás szerepekben, legnagyobb sikerét Bessenyei György A filozófus című darabjában, Pontyi szerepében aratta.
A magyar jakobinusok összeesküvésének leleplezése után az udvar a színészeket a magyar rebellió szítóinak minősítette, így működésüket ellehetetlenítették. Ehhez járultak az anyagi nehézségek és a belső viszálykodás, így a társulat 1796-ban feloszlott, csak adósságot hagyva hátra. Kelemen László visszatért a polgári életbe, Nagyváradon lett tisztviselő.
A színház iránti lelkesedése mit sem csökkent, így 1799-ben, amikor Kolozsvárott is megindult a magyar színjátszás, újra színház szervezésébe fogott.
Próbálkozott Nagyváradon, Szegeden, bejárta az egész országot, de minden kísérlete balul ütött ki. 1801-ben Losoncon adósságai fejében lefoglalták minden színi kellékét és vagyonát, csak kölcsönpénzen tudott elvergődni Ráckevére, ahol kántortanítói állást vállalt. Innen Makóra, majd Csanádpalotára költözött, ott érte 52 éves korában, 1814. december 27-én a halál. Sírja körül ma kegyeleti park van, alakját Petőfi versben, Vahot Imre, Jókai színműben örökítette meg.